Théorème de Hahn-Banach des \(\mathbb{R}\)-espace vectoriel

[ Théorème ]

Soit \(E\) un \(\mathbb{R}\)-espace vectoriel et \(p\) une application de \(E\) dans \(\mathbb{R}\) telle que:

\(\bullet\)\(\forall (x,y) \in E, p(x+y) \leq p(x)+p(y)\)

\(\bullet\)\(\forall x \in E, \forall {\lambda}\in \mathbb{R}^+, p({\lambda}.x)={\lambda}.p(x)\)

Alors toute forme linéaire \(l\) sur \(F\) sous-espace vectoriel de \(E\) telle que \(l(x) \leq p(x)\) peut être prolongée en une forme linéaire \(L\) sur \(E\) telle que \(\forall x,\ L(x) \leq p(x)\).
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