Espace projectif associé à \(E\)

[ Definition ]

Étant donné \(E\) un espace vectoriel de dimension finie, on appelle espace projectif associé à \(E\) l’ensemble \(P(E)\) des droites vectorielles de \(E\). On note \(P^{n-1}(\mathbb{K})\) pour \(P(\mathbb{K}^n)\).

On appelle dimension de \(P(E)\) la dimension de \(E\) moins un.

Attention Ne pas confondre avec l’ensemble des parties de \(E\) !

On appelle droite (projective) de \(P(E)\) l’image d’un plan vectoriel de \(E\), plan projectif de \(P(E)\) l’image d’un sous-espace vectoriel de \(E\) de dimension \(3\), sous-espace projectif de \(P(E)\) de dimension \(q\) l’image d’un sous-espace vectoriel de \(E\) de dimension \((q+1)\), hyperplan projectif de \(P(E)\) l’image d’un hyperplan vectoriel de \(E\), sous-espace projectif de \(P(E)\) engendré par \(q\) points de \(P(E)\) (i.e. \(q\) droites de \(E\)) l’image du sous-espace vectoriel de \(E\) engendré par les \(q\) droites correspondantes.

On note \(<P>\) le sous-espace projectif de \(P(E)\) engendré par une partie \(P\) incluse dans \(P(E)\).

On dit de \(q\) points de \(P(E)\) qu’ils sont projectivement indépendants si les droites correspondantes sont en somme directe dans \(E\), c’est-à-dire s’ils engendrent un sous-espace projectif de \(P(E)\) de dimension \((q-1)\).

On dit de \(n\) points \(x_1,...,x_n\) de \(P(E)\) qu’ils forment un repère projectif de \(P(E)\) si la dimension de \(P(E)\) est \(n-2\) et si toute sous-famille de \(n-1\) points des \(x_i\) est projectivement indépendante.

On dit de \(x\) dans \(P(E)\) qu’il a pour coordonnées homogènes \((t_1,...,t_n)\) dans un certain repère projectif \((d_0,d_1,...,d_n)\) si un certain \(y\) appartenant à \(x\) a pour coordonnées \((t_1,...,t_n)\) dans une base \((e_0,...,e_{n-1})\) avec \(e_n=\sum_{i=[1,n-1]} e_i\) et \(d_i=<e_i>\) pour tout \(i \in [1,n]\).

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