Courbe

[ Definition ]

On appelle courbe une application continue d’un intervalle \([a,b]\) de \(\mathbb{R}\) dans \(\mathbb{C}\).

On appelle chemin une application continue \(C^1\) par morceaux d’un intervalle \([a,b]\) de \(\mathbb{R}\) dans \(\mathbb{C}\).

Une courbe ou un chemin \(\gamma\) est dit fermé si \(\gamma(a)=\gamma(b)\).

Etant donné \(\gamma\) une courbe, on note \(\gamma^*\) l’image de \([a,b]\) par \(\gamma\).

Etant donné \(\gamma\) un chemin et \(f\) une fonction continue sur \(\gamma^*\), on note \(\int_\gamma f(z).dz\) l’intégrale \(\int_{[a,b]} f(t).\gamma'(t).dt\), on appelle cette intégrale l’intégrale de \(f\) le long de \(\gamma\).

Deux chemins \(\gamma\) et \(\tilde{\gamma}\) sont dits équivalents, si pour toute fonction \(f\) continue sur \(\gamma^*\) et \(\tilde{\gamma}^*\) l’intégrale de \(f\) le long de \(\gamma\) est égale à l’intégrale de \(f\) le long de \(\tilde{\gamma}\).

La longueur d’un chemin \(\gamma\) est \(\displaystyle\int_a^b|\gamma'(t)|\,dt\).

On appelle indice de \(z\) pour \(z\in \Omega\) par rapport à \(\gamma\), avec \(\Omega\) le complémentaire de \(\gamma^*\), le complexe \[Ind_\gamma(z)=\frac{1}{2i\pi}\int_\gamma\frac{dt}{t-z}\]

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