Polynôme symétrique

[ Definition ]

Soit \(P \in A[X_1,\dots,X_n]\). \(P\) est dit polynôme symétrique si et seulement si pour tout \(\sigma\) permutation de \([1,...,n]\), \(P(X_1,...,X_n)=P(X_{\sigma(1)},X_{\sigma(2)},...,X_{\sigma(n)})\).

On appelle polynômes symétriques élémentaires les polynômes de la forme \[\Sigma_{k,n}=\sum_{1\leq a_1 \leq a_2 \leq ... \leq a_k\leq n} X_{a_1}X_{a_2}...X_{a_k}\mbox{ pour }1\leq k \leq n\]

On appelle \(k\)-ième polynôme de Newton le polynôme \(\displaystyle N_k=\sum_{i=1}^n X_i^k\).
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