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Polynôme à \(n\) indéterminées à coefficients dans \(A\)
[ Definition ]
Soit \(A\) un anneau commutatif unitaire.
On appelle polynôme à \(n\) indéterminées à coefficients dans \(A\) l’ensemble des applications presque nulles de \(\mathbb{N}^n\) dans \(A\). On note \(A[X_1,\dots,X_n]\) l’ensemble des polynômes à \(n\) indéterminées à coefficients dans \(A\). Par la suite, on dira souvent simplement, pour gagner en concision, polynôme.
On dit que \(P\in\mathbb{K}[X_1,\dots,X_n]\) est de degré \(d\) si \(d\) est le max des \(|\nu|\) tels que \(P_\nu\) est non nul (voir Définition [Nn] pour les rappels sur les opérations dans \(\mathbb{N}^n\)).
Si \(i\in [[1,n]]\), on dit que \(P\) est de degré \(d\) en \(X_i\) si le \(\sup\) des \(\nu_i\) tels que \(P_{\nu}\neq 0\) est \(d\).
On note \(X_i\) l’élément de \(A[X_1,\dots,X_n]\) nul partout sauf en \(\nu=(\delta_{i,j})_{j\in [1,n]}\), avec \(X_\nu=1\).
Etant donnés \(P\) et \(Q\) deux polynômes, on note \(R=P\times Q\) le produit de \(P\) et \(Q\) avec \[R_\nu=\sum_{\alpha+\beta=\nu} P_\alpha Q_\beta\] (pour les opérations dans \(N^n\), voir Définition [Nn]).
On appelle monôme un polynôme dont un seul élément est non nul.
On appelle dérivé formel d’un polynôme \(P\) par \(D^\nu\) pour \(\nu \in \mathbb{N}^n\) le polynôme \[\sum_{\alpha \in \mathbb{N}^n} \frac{(\nu+\alpha)!}{\alpha !}P_{\alpha+\nu}.\] On note parfois \(\frac{\delta}{\delta X_i}\) \(D^\nu\) avec \(\nu_j=(\delta_{i,j})_{j\in [1,n]}\).