Polynôme à \(n\) indéterminées à coefficients dans \(A\)

[ Definition ]
On suppose donné \((a,b)\in \overline{\mathbb{R}}^2\), \(a<b\). On suppose donnée une fonction \(w\) de \(]a,b[\) dans \(\mathbb{R}_+^*\) continue. Enfin on suppose que pour tout \(n\), \(\int_a^b x^nw(x)dx\) est convergente 2. On note alors \(E\) l’ensemble des fonctions de \(]a,b[\) dans \(\mathbb{R}\) telles que \[{\parallel}f {\parallel}_2 :=\sqrt{ \int_a^b |f(x)|^2w(x)dx }<\infty\] L’ensemble des polynômes est inclus dans \(E\), \(E\) muni du produit scalaire suivant: \[=\int_a^b f(x)g(x)w(x)dx\] est un espace de Hilbert. Il existe alors une suite de polynômes \((P_n)_{n\in \mathbb{N}}\), telle que \(deg P_n=n\), et telle que les \(P_n\) forment une famille orthogonale.
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