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\(\bullet\)\((P+Q)\circ R = P\circ R + Q \circ R\) mais en général \(P\circ (Q+R) \neq P \circ Q + P \circ R\).
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Propriétés basiques des anneaux de polynômes
[ Proposition ]
\(\bullet\)\(1\) est élément neutre pour la multiplication, \(X\) élément neutre pour \(\circ\), \(0\) élément neutre pour l’addition.
\(\bullet\)Les éléments inversibles de \(\mathbb{K}[X]\) sont les éléments identifiés aux éléments de \(\mathbb{K}\setminus \{0\}\).
\(\bullet\)\(deg(0)=-\infty\) et \(val(0)=+\infty\).
\(\bullet\)\(deg(1)=0\).
\(\bullet\)\(deg(X^i)=i\) et \(val(X^i)=i\).
\(\bullet\)\(deg(P.Q)=deg(P)+deg(Q)\) et \(val(P.Q)=val(P)+val(Q)\).
\(\bullet\)\(deg(P+Q) \leq \sup(deg(P),deg(Q))\) avec égalité si \(deg(P)\neq deg(Q)\) ou si les coefficients dominants de \(P\) et \(Q\) ne sont pas opposés.
\(\bullet\)\(val(P+Q) \geq \inf(val(P),val(Q))\) avec égalité si \(val(P)\neq val(Q)\) ou si \(P_{val(P)}\) et \(Q_{val(Q)}\) ne sont pas opposés.
\(\bullet\)si \(A\) est intègre alors \(A[X]\) est un anneau intègre; c’est-à-dire que le produit de deux polynômes est nul si et seulement si l’un des deux polynômes est nul.