Décomposition en éléments simples

[ Théorème ]

Soit \(\mathbb{K}\) un corps clos (par exemple \(\mathbb{C}\)). Alors toute fraction rationnelle peut s’écrire de manière unique sous la forme suivante: \(\displaystyle P+\sum_{i=1}^n (\sum_{j=1}^{n_i} \frac{{\lambda}_{i,j}}{(X-p_i)^j})\), avec \(P\) un polynôme dans \(\mathbb{K}\), avec les \(n_i\) non nuls, avec les \({\lambda}_{i,j}\in \mathbb{K}\), et les \(p_i\) (les pôles) sont des éléments de \(\mathbb{K}\) deux à deux disjoints.

Toute fraction rationnelle sur le corps des réels peut s’écrire de manière unique sous la forme suivante: \(\displaystyle P+\sum_{i=1}^n(\sum_{j=1}^{n_i} \frac{{\lambda}_{i,j}}{(X-p_i)^j})+\sum_{i=1}^m (\sum_{j=1}^{m_i} \frac{\alpha_iX+ \beta_i}{X^2+\gamma X+ \delta})\) avec les \(p_i\) des réels distincts, les \({\lambda}_i\), \(\alpha_i\), \(\beta_i\) des réels, les \(X^2+\gamma X+\delta\) des polynômes irréductibles \(2\) à \(2\) disjoints.

Ces formes uniques sont appelées décompositions en éléments simples.
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