Ensemble des séries formelles sur \(A\)

[ Definition ]

Étant donné \(A\) un anneau, on note \(A[[X]]\) et on appelle ensemble des séries formelles sur \(A\) l’ensemble des suites à valeurs dans \(A\). Une telle suite \((a_n)_{n\in \mathbb{N}}\) sera notée \[\sum_{n\in \mathbb{N}} a_n X^n\] On dit parfois aussi que \(\sum a_n X^n\) est la série génératrice associée à la suite \((a_n)_{n\in\mathbb{N}}\).

On munit \(A[[X]]\) d’une structure d’anneau en définissant une somme et un produit par \[(\sum_{n=0}^\infty a_nX^n)+(\sum_{n=0}^\infty b_nX^n)=\sum_{n=0}^\infty(a_n+b_n) X^n\] \[(\sum_{n=0}^\infty a_nX^n) \times (\sum_{n=0}^\infty b_nX^n)=\sum_{n=0}^\infty \sum_{k=0}^n (a_kb_{n-k}) X^n\]

Étant donnée \(V\) une variable aléatoire à valeurs dans \(\mathbb{N}\), on appelle aussi série génératrice associée à \(V\) la série \(\sum P(V=n) X^n\).
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