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On suppose en outre que pour tout \(t\) l’intégrale \[\int_a^b
|g(x)|e^{tf(x)}dx\mbox{ est convergente}.\] \[\mbox{Alors }\int_a^b g(x)e^{tf(x)}dx \simeq_{t\to\infty}
\frac{\sqrt{2\pi}g(c)e^{tf(c)}}{\sqrt{-tf''(c)}}\]
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Méthode de Laplace
[ Théorème ]
Soit \(f\) une fonction \(C^2\) sur \(]a,b[\), avec \((a,b)\in \overline{\mathbb{R}}^2\), telle que \(f\) admette un maximum unique en \(c\in]a,b[\), avec \(f''(c)<0\), \(f\) n’ayant pas \(f(c)\) pour valeur d’adhérence pour \(x\to a\) ni pour \(x\to b\), et soit \(g\) une fonction continue sur \(]a,b[\) avec \(g(c)\neq 0\).