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Alors \({\parallel}f(b)-P_{f,a,n}(b) {\parallel}\leq M\cdot \displaystyle \frac{(b-a)^{n+1}}{(n+1)!}\).
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Inégalité de Taylor-Lagrange
[ Théorème ]
Soit \([a,b]\) un segment de \(\mathbb{R}\), avec \(a\neq b\), \(E\) un espace de Banach, et \(f\) : \([a,b]\to E\) de classe \(C^n\) sur \([a,b]\) et \(n+1\) fois dérivable sur \(]a,b[\); on suppose en outre que \(f^{(n+1)}\) est bornée par \(M\) sur \(]a,b[\).