Matrice carrée

[ Definition ]
On appelle matrice carrée une matrice de type \((n,n)\) pour un certain \(n\). On note \({\cal M}_n(\mathbb{K})={\cal M}_{n,n}(\mathbb{K})\).

On appelle matrice d’un endormophisme \(f\) associée à une base \(B\) (finie) la matrice \(Mat_{B,B}(f)\); on la note aussi \(Mat_B(f)\).

On appelle diagonale d’une matrice carrée \(M\) de type \((n,n)\) le vecteur \((M_{1,1},...,M_{i,i},...,M_{n,n}).\)

On appelle trace d’une matrice carrée \(M\) la somme \(\sum_{i=1}^n M_{i,i}\). On la note \(tr(M)\). L’application \(M \to tr(M)\) est une application linéaire.

On appelle matrice unité d’ordre \(n\) la matrice \(M\) avec \(M_{i,j}=\delta_{i,j}\). C’est la matrice dans toute base de l’endomorphisme identité.

On appelle matrice scalaire une matrice égale à \({\lambda}.I\) avec \({\lambda}\) un scalaire et \(I\) une matrice unité. C’est la matrice dans toute base de l’homothétie de rapport \({\lambda}\).

On appelle matrice diagonale associée à un \(n\)-uplet \(m\) la matrice \(M\) de type \((n,n)\) définie par \(M_{i,i}=m_i\) et \(M_{i,j}=0\) si \(i\neq j\). On note \(M=diag(m)\).

Une matrice est dite symétrique si elle est égale à sa transposée.

Une matrice \(M\) est dite antisymétrique si elle est égale à l’opposée de sa transposée, c’est-à-dire si \(^tM=-M\).

Une matrice carrée est dite triangulaire supérieure si \(j<i \to M_{i,j}=0\)

On note \({\cal T}_n^s\) l’ensemble des matrices carrées triangulaires supérieures d’ordre \(n\).

Une matrice carrée est dite triangulaire inférieure si \(j>i \to M_{i,j}=0\)

On note \({\cal T}_n^i\) l’ensemble des matrices carrées triangulaires inférieures d’ordre \(n\).
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