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Définitions de base sur les matrices
[ Definition ]
On appelle matrice de type \((n,p)\) sur un corps \(\mathbb{K}\) toute application de \([\![1,n]\!]\times [\![1,p]\!]\) (intervalles de \(\mathbb{N}\)) dans \(\mathbb{K}\). On la représente généralement comme suit: \[\left( \begin{array}{cccc}
m_{1,1} & m_{1,2} & \dots & m_{1,p} \\
m_{2,1} & m_{2,2} & \dots & m_{2,p} \\
\vdots & \vdots &\ddots & \vdots \newline
m_{n,1} & m_{n,2} & \dots & m_{n,p}
\end{array}\right)\] On note \(M_{n,p}(\mathbb{K})\) l’ensemble des matrices de type \((n,p)\) sur le corps \(\mathbb{K}\).
Inversement, on appelle application linéaire canoniquement associée à la matrice \(M\) le morphisme de \(\mathbb{K}^p\) dans \(\mathbb{K}^n\) dont la matrice associée est \(M\).
En savoir plus
On appelle matrice ligne une matrice de type \((1,p)\), et matrice colonne une matrice de type \((n,1)\).
On appelle matrice extraite d’une matrice de type \((n,p)\) la restriction de cette matrice à \(I \times J\), avec \(I \subset [\![1,n]\!]\) et \(J \subset [\![1,p]\!]\).
On appelle \(i\)-ième vecteur-ligne de la matrice \(M\) de type \((n,p)\) la restriction de cette matrice à \(\{i\}\times [\![1,p]\!]\). On peut identifier un vecteur-ligne à un élément de \(\mathbb{K}^p\).
On appelle \(j\)-ième vecteur-colonne de la matrice \(M\) de type \((n,p)\) la restriction de cette matrice à \([\![1,n]\!] \times \{j\}\). On peut identifier un vecteur-colonne à un élément de \(\mathbb{K}^n\).
On appelle matrice associée à un morphisme \(f\) de l’espace vectoriel \(E\) de dimension \(p\) dans l’espace vectoriel \(F\) de dimension \(n\) et aux bases \(B=(e_i)\) et \(B'=(f_i)\) de \(E\) et \(F\) respectivement la matrice \(M\) de type \((n,p)\) telle que \(M_{i,j}=f_i^*(e_j)\). On la note \(Mat_{B,B'}(f)\).