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Application linéaire
[ Definition ]
Une application \(f\) d’un \(\mathbb{K}\)-espace vectoriel vers un autre est une application linéaire si \(\forall ({\lambda},x,y)\in\mathbb{K}\times E^2\) :
Enfin, on appelle forme linéaire sur un espace vectoriel \(E\) une application linéaire définie sur \(E\) et à valeurs dans \(\mathbb{K}\).
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\(\bullet\)\(f(x+y)=f(x)+f(y)\)
\(\bullet\)\(f({\lambda}.x)={\lambda}.f(x)\)
Une application linéaire est aussi appelée morphisme d’espaces vectoriels, ou morphisme algébrique. C’est en particulier un morphisme de groupes. Une application linéaire bijective est appelée isomorphisme, une application linéaire de \(E\) dans \(E\) est appelée endomorphisme. Un endomorphisme qui est aussi un isomorphisme est appelé automorphisme. L’inverse d’un isomorphisme est un isomorphisme, appelé isomorphisme réciproque.
On note \({\cal L}(E,F)\) l’ensemble des morphismes de \(E\) dans \(F\); c’est un sous-espace vectoriel de \(F^E\). On note \({\cal L}(E)\) l’ensemble des endomorphismes de \(E\). On note \(Isom(E,F)\) l’ensemble des isomorphismes de \(E\) dans \(F\). On note \(Aut(E)\) l’ensemble des automorphismes de \(E\); il est noté \(GL(E)\) une fois qu’on l’a muni de la composition. \(GL(E)\) est un groupe, appelé groupe linéaire.
La notation \(E \simeq F\) signifie qu’il existe un isomorphisme de \(E\) dans \(F\).
L’image réciproque d’un sous-espace vectoriel par une application linéaire est un sous-espace vectoriel. On note \(Ker\ f\) et on appelle noyau de \(f\) l’image réciproque de \(\{ 0 \}\), c’est un sous-espace vectoriel. Une application linéaire est injective si et seulement si son noyau est \(\{ 0 \}\). On notera que le noyau d’une application linéaire est le noyau du morphisme de groupes correspondant.
L’image directe d’un sous-espace vectoriel par une application linéaire est un sous-espace vectoriel. On note \(Im\ f\) et on appelle image de \(f\) l’ensemble \(f(E)=\{f(x); x\in E\}\). Évidemment, \(f\) est surjective si et seulement si \(Im\ f=F\).
On note \(Id\) la fonction identité de \(E\); c’est une application linéaire et un isomorphisme. On note \(Inv\ f\) l’ ensembles des invariants de \(f\); \(Inv\ f = Ker (f-Id)\). On note \(Opp\ f\) l’ensemble des vecteurs changés en leur opposé; \(Opp\ f = Ker (f+Id)\).
Si \({\lambda}\neq 0\), on appelle homothétie de rapport \({\lambda}\) d’un espace vectoriel \(E\) l’application \(x \mapsto {\lambda}.x\).