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Fonction argument tangente hyperbolique
[ Proposition ]
La fonction tangente hyperbolique définie une bijection de \(\mathbb{R}\) sur son image \(]-1,1[\). L’application réciproque est appelée Argument tangente hyperbolique et est notée \(\mathop{\mathrm{argth}}\). \[\mathop{\mathrm{argth}}: \left\{ \begin{array}{ccl} \left]-1,1\right[ & \longrightarrow & \mathbb{R} \\ y & \longmapsto & \mathop{\mathrm{argth}}y \end{array} \right.\]
\[\begin{aligned} \forall y\in\left]-1,1\right[, & & \operatorname{th} \left(\mathop{\mathrm{argth}}y\right)=y\\ \forall x\in\mathbb{R}, & & \mathop{\mathrm{argth}}\left(\operatorname{th} x\right)=x\end{aligned}\]
La fonction \(\mathop{\mathrm{argth}}\)
est impaire.
est strictement croissante sur \(\left]-1,1\right[\).
est continue sur \(\left]-1,1\right[\).
est dérivable sur \(\left]-1,1\right[\) et \[\boxed{\forall y\in\left]-1,1\right[, \quad \mathop{\mathrm{argth}}' y=\dfrac{1}{1-y^2}}\]
réalise une bijection de \(\left]-1,1\right[\) dans \(\mathbb{R}\).
est \(\mathcal{C}^{\infty}\) sur \(\left]-1,1\right[\).