Fonction argument cosinus hyperbolique

[ Proposition ]

La fonction cosinus hyperbolique, restreinte à \(\mathbb{R}_+\), définit une bijection de \(\mathbb{R}_+^*\) sur son image \([1,+\infty[\). L’application réciproque est appelée argument cosinus hyperbolique et est notée \(\mathop{\mathrm{argch}}\). \[\mathop{\mathrm{argch}}: \left\{ \begin{array}{ccl} \left[1,+\infty\right[ & \longrightarrow & \mathbb{R} \\ y & \longmapsto & \mathop{\mathrm{argch}}y \end{array} \right.\] \[\begin{aligned} \forall y\in\left[1,+\infty\right[, & & \mathop{\mathrm{ch}}\left(\mathop{\mathrm{argch}}y\right)=y\\ \forall x\in\mathbb{R}_+, & & \mathop{\mathrm{argch}}\left(\mathop{\mathrm{ch}}x\right)=x\end{aligned}\] La fonction \(\mathop{\mathrm{argch}}\)

  • est continue sur \(\left[1,+\infty\right[\).

  • est dérivable sur \(\left]1,+\infty\right[\) et : \[\boxed{\forall y\in\left]1,+\infty\right[, \quad \mathop{\mathrm{argch}}' y=\dfrac{1}{\sqrt{y^2-1}}}\]

  • est strictement croissante sur \(\left[1,+\infty\right[\).

  • réalise une bijection de \(\left]1,+\infty\right[\) dans \(\mathbb{R}\).

  • est de classe \(\mathcal{C}^{\infty}\) sur \(\left]1,+\infty\right[\).

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