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Fonction argument sinus hyperbolique
[ Proposition ]
La fonction sinus hyperbolique définie une bijection de \(\mathbb{R}\) sur son image \(\mathbb{R}\). L’application réciproque est appelée fonction argument sinus hyperbolique et notée \(\mathop{\mathrm{argsh}}\): \[\mathop{\mathrm{argsh}}: \left\{ \begin{array}{ccl} \mathbb{R} & \longrightarrow & \mathbb{R} \\ y & \longmapsto & \mathop{\mathrm{argsh}}y \end{array} \right.\]
\[\begin{aligned} \forall y\in\mathbb{R}, & & \mathop{\mathrm{sh}}\left(\mathop{\mathrm{argsh}}y\right)=y\\ \forall x\in\mathbb{R}, & & \mathop{\mathrm{argsh}}\left(\mathop{\mathrm{sh}}x\right)=x\end{aligned}\] La fonction \(\mathop{\mathrm{argsh}}\)
est impaire.
est continue sur \(\mathbb{R}\).
est dérivable sur \(\mathbb{R}\) et \[\boxed{\forall y\in\mathbb{R}, \quad \mathop{\mathrm{argsh}}' y=\dfrac{1}{\sqrt{y^2+1}}}\]
est strictement croissante sur \(\mathbb{R}\).
réalise une bijection de \(\mathbb{R}\) dans \(\mathbb{R}\).
est de classe \(\mathcal{C}^{\infty}\) sur \(\mathbb{R}\).