Fonction arcsinus

[ Proposition ]
La fonction sinus est une bijection de \(\left[-\dfrac{\pi}{2};\dfrac{\pi}{2}\right]\) sur \([-1;1]\). La bijection réciproque est appelée fonction arcsinus et est notée \(\operatorname{arcsin}\) \[\operatorname{arcsin} : \left\{ \begin{array}{ccl} \left[-1,1\right] & \longrightarrow & \left[-\dfrac{\pi}{2},\dfrac{\pi}{2}\right] \\ y & \longmapsto & \operatorname{arcsin} y \end{array} \right. .\] \[\begin{aligned} \forall y\in\left[-1,1\right], & & \sin\left(\operatorname{arcsin} y\right)=y\\ \forall x\in\left[-\dfrac{\pi}{2},\dfrac{\pi}{2}\right], & & \operatorname{arcsin} \left(\sin x\right)=x \end{aligned}\] De plus, la fonction \(\operatorname{arcsin}\)
  • est strictement croissante sur \(\left[-1,1\right]\).

  • est impaire.

  • est continue sur \(\left[-1,1\right]\).

  • est dérivable sur \(\left]-1,1\right[\) et \[\boxed{\forall y\in\left]-1,1\right[, \quad \operatorname{arcsin} ' y=\dfrac{1}{\sqrt{1-y^2}}}\]

  • de classe \(\mathcal{C}^{\infty}\) sur \(\left]-1,1\right[\).

  • réalise une bijection de \(\left[-1,1\right]\) dans \(\left[-\pi/2,\pi/2\right]\)

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