Fonction tangente

[ Proposition ]

La fonction tangente, notée \(\tan\), et donnée par : \[\boxed{\forall x\in\mathbb{R}\setminus\left\{\dfrac{\pi}{2}+ k\pi ~|~ k\in\mathbb{Z}\right\}, \quad \tan x = \dfrac{\sin x}{\cos x}}\] est :

  • définie sur \(\mathbb{R}\setminus\left\{\dfrac{\pi}{2}+ k\pi ~|~ k\in\mathbb{Z}\right\}\).

  • à valeurs dans \(\mathbb{R}\).

  • impaire.

  • \(\pi\)-périodique.

  • continue \(\mathbb{R}\setminus\left\{\dfrac{\pi}{2} +k\pi ~|~ k\in\mathbb{Z}\right\}\).

  • dérivable sur \(\mathbb{R}\) et \[\boxed{\forall x\in\mathbb{R}\setminus\left\{\dfrac{\pi}{2}+ k\pi ~|~ k\in\mathbb{Z}\right\}, \quad \tan' x=1+\tan^2 x=\dfrac{1}{\cos^2 x}}\]

  • de classe \(\mathcal{C}^{\infty}\) sur \(\mathbb{R}\setminus\left\{\dfrac{\pi}{2}+ k\pi ~|~ k\in\mathbb{Z}\right\}\).

De plus, la restriction de la fonction tangente à \(\left]\dfrac{\pi}{2},\dfrac{\pi}{2}\right[\) est strictement croissante.
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