Résolution d’une équation du second degré à coefficients réels

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Soient \(a\), \(b\), \(c\) trois nombres réels avec \(a\neq 0\). Considérons l’équation d’inconnue \(x\in\mathbb{C}\) \[ax^2+bx+c=0 \quad \left(\star\right)\] Notons \(\boxed{\Delta=b^2-4ac}\) son discriminant. Remarquons que \(\Delta\in\mathbb{R}\). On a :

  • Si \(\Delta>0\), \(\left(\star\right)\) admet deux solutions distinctes, toutes deux réelles \(x_1\) et \(x_2\) données par \[\boxed{x_1=\dfrac{-b-\sqrt\Delta}{2a}} \quad \textrm{ et} \quad \boxed{x_2=\dfrac{-b+\sqrt\Delta}{2a}}\]

  • Si \(\Delta=0\), \(\left(\star\right)\) admet une seule solution \(x_0\) donnée par : \[\boxed{x_0=-\dfrac{b}{2a}}\]

  • Si \(\Delta<0\), \(\left(\star\right)\) admet deux solutions distinctes, toutes deux complexes conjuguées \(x_1\) et \(x_2\) données par \[\boxed{x_1=\dfrac{-b-i\sqrt{\left|\Delta\right|}}{2a}} \quad \textrm{ et} \quad \boxed{x_2=\dfrac{-b+i\sqrt{\left|\Delta\right|}}{2a}}\]

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