Argument d’un nombre complexe

[ Proposition ]
Soit \(z\) un nombre complexe non nul. Il existe au moins un nombre réel \(\theta\) tel que \(\boxed{z=\rho e^{i\theta}}\) où \(\rho = \lvert z \rvert \in\mathbb{R}_+^*\) est le module de \(z\).

  • \(\rho e^{i\theta}\) est une forme trigonométrique de \(z\).

  • Le réel \(\theta\) est appelé un argument de \(z\).

Un tel nombre n’est pas unique : si \(\theta_0\) est un argument de \(z\), l’ensemble de tous les arguments de \(z\) est donné par \(\left\{\theta_0+2k\pi ~|~ k\in\mathbb{Z}\right\}\). On notera \(\arg\left(z\right)= \theta_0 \left[2\pi\right]\). Enfin, il existe un unique argument de \(z\) appartenant à l’intervalle \(]-\pi,\pi]\). On l’appellera l’argument principal de \(z\).
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