Factorisation par les angles moitiés

[ Proposition ]
Pour tout réel \(x\in\mathbb{R}\) : \[\boxed{ e^{ix}+1 = e^{{\scriptstyle ix\over\scriptstyle 2}}\left( e^{{\scriptstyle ix\over\scriptstyle 2}}+e^{-{\scriptstyle ix\over\scriptstyle 2}}\right) =2e^{{\scriptstyle ix\over\scriptstyle 2}}\cos\Bigl(\dfrac{x}{2}\Bigr) } \quad\quad \boxed{ e^{ix}-1 = e^{{\scriptstyle ix\over\scriptstyle 2}}\left( e^{{\scriptstyle ix\over\scriptstyle 2}}-e^{-{\scriptstyle ix\over\scriptstyle 2}}\right) =2ie^{{\scriptstyle ix\over\scriptstyle 2}}\sin\Bigl(\dfrac{x}{2}\Bigr) }\]
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