Lecture zen
Factorisation par les angles moitiés
[ Proposition ]
Pour tout réel \(x\in\mathbb{R}\) : \[\boxed{ e^{ix}+1 = e^{{\scriptstyle ix\over\scriptstyle 2}}\left(
e^{{\scriptstyle ix\over\scriptstyle 2}}+e^{-{\scriptstyle ix\over\scriptstyle 2}}\right)
=2e^{{\scriptstyle ix\over\scriptstyle 2}}\cos\Bigl(\dfrac{x}{2}\Bigr) } \quad\quad
\boxed{ e^{ix}-1 = e^{{\scriptstyle ix\over\scriptstyle 2}}\left(
e^{{\scriptstyle ix\over\scriptstyle 2}}-e^{-{\scriptstyle ix\over\scriptstyle 2}}\right)
=2ie^{{\scriptstyle ix\over\scriptstyle 2}}\sin\Bigl(\dfrac{x}{2}\Bigr) }\]
En savoir plus