Groupe \(\mathbb U\) des nombres complexes de module \(1\)

[ Proposition ]
Nous noterons \(\mathbb U\), l’ensemble des nombres complexes de module égal à \(1\) \[\boxed{\mathbb U=\left\{z\in\mathbb{C}~|~ |z|=1\right\}}\] Cet ensemble vérifie les propriétés suivantes.

  1. \(\mathbb U\) est stable pour le produit : \(\forall z,z'\in\mathbb U,\quad z.z'\in\mathbb U\).

  2. Le produit est associatif : \(\forall z,z',z''\in\mathbb U,\quad (z\times z')\times z''=z\times(z'\times z'')\).

  3. Le complexe \(1\) est élément de \(\mathbb U\) et est l’élément neutre du produit : \(\forall z\in\mathbb U,\quad z\times 1=1\times z=z\).

  4. Si \(z\) est élément de \(\mathbb U\), alors son inverse \(\dfrac{1}{z}\) aussi. De plus, on a \(\boxed{\dfrac{1}{z}=\bar z}\).

  5. Le produit est commutatif : \(\forall z,z'\in \mathbb U,\quad z\times z'=z'\times z\).

On dit que \((\mathbb U,\times)\) est un groupe commutatif appelé groupe des nombres complexes de module \(1\).
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