Propriétés de la multiplication dans \(\mathbb{C}\)

[ Proposition ]
La multiplication dans \(\mathbb{C}\)
  • est associative : \(\forall z, z', z''\in \mathbb{C},\quad z(z'z'')=(zz')z''\)

  • est commutative : \(\forall z, z'\in \mathbb{C},\quad zz'=z'z\)

  • possède un élément neutre \(1\) : \(\forall z\in \mathbb{C}, \quad z\times 1=z\)

De plus, tout nombre complexe non nul \(z=a+i\,b\) possède un inverse \(z^{-1}\) vérifiant \(z \times z^{-1} = 1\) donné par \[\boxed{z^{-1}=\dfrac{a}{a^2+b^2}-i\dfrac{b}{a^2+b^2}}.\] On résume ces quatre propriétés en disant que \((\mathbb{C}^*,\times)\) est un groupe commutatif.
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