Lecture zen
Fubini
[ Théorème ]
On suppose \((X,{\cal X},\mu_X)\) et \((Y,{\cal Y},\mu_Y)\) des espaces mesurés de mesures \(\sigma\)-finies. Soit \(f\) mesurable de \((X\times Y,{\cal X}\otimes {\cal Y},\mu_X \otimes
\mu_Y)\) dans \(\overline{\mathbb{R}}\).
\(\bullet\)si \(f\) est positive, alors \(y\mapsto \int_X f_{1,y}(x).dx\) est mesurable positive, et \[\int_Y ( \int_X f_{1,y}(x).dx ).dy = \int_{X \times Y} f.dz\] \(\bullet\)si \(f\) est positive, alors \(x\mapsto \int_Y f_{2,x}(y).dy\) est mesurable positive. et \[\int_X ( \int_Y f_{2,x}(y).dy ).dx = \int_{X \times Y} f.dz\] \(\bullet\)si \(f\) est intégrable, alors pour presque tout \(x\), \(f_{2,x}\) est intégrable, et \(x\mapsto \int_Y f_{2,x}(y).dy\) est définie presque partout et intégrable, et on a \[\int_X
( \int_Y f_{1,x}(y).dy ).dx = \int_{X \times Y} f.dz\] \(\bullet\)si \(f\) est intégrable, alors pour presque tout \(y\), \(f_{1,y}\) est intégrable, et \(y\mapsto \int_X f_{1,y}(x).dx\) est définie presque partout et intégrable, et on a \[\int_Y
( \int_X f_{1,y}(x).dx ).dy = \int_{X \times Y} f.dz\]
En savoir plus
Alors:
\(\bullet\)pour tout \(x\in X\) l’application \(f_{2,x} : y\mapsto f(x,y)\) est mesurable sur \((Y,{\cal Y})\).
\(\bullet\)pour tout \(y\in Y\) l’application \(f_{1,y} : x\mapsto f(x,y)\) est mesurable sur \((X,{\cal X})\).