Banach et Tarski

[ Théorème ]
\(\bullet\)Il existe un ensemble \(F\) inclus dans la sphère unité \(S^2\) de \(\mathbb{R}^3\) tel que pour tout \(k\geq 3\) (éventuellement \(k=\infty\)), \(S^2\) est la réunion disjointe de \(k\) images de \(F\) par des rotations. Façon amusante de constater qu’on ne peut pas mesurer n’importe quoi... Ce théorème montre surtout qu’il n’existe pas sur \(\mathbb{R}^3\) de mesure invariante par isométrie pour laquelle toutes les parties soient mesurables. La démonstration nécessite l’axiome du choix. \(\bullet\)On peut même aller plus loin et étant donné \(A\) et \(B\) d’intérieurs non vides de \(\mathbb{R}^3\), on peut décomposer \(A\) en une réunion finie de parties \(A_i\), et \(B\) en une réunion de parties \(B_i\), chaque \(B_i\) étant l’image de \(A_i\) par une isométrie affine.
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