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Théorème fondamental
[ Théorème ]
Il existe une unique mesure sur \(\mathbb{R}\) muni des boréliens classiques telle que \(\mu([a,b])=b-a\) pour \(b>a\). \(\mu\) s’appelle mesure de Lebesgue sur \(\mathbb{R}\).
\(\bullet\)Étant donné \(E\) une partie Lebesgue-mesurable, la mesure de \(E\) est égale au \(sup\) des mesures des parties compactes inclues dans \(E\).
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Il existe une unique mesure sur \(\mathbb{R}^n\) muni des boréliens classiques telle que \(\mu(\Pi_i [a_i,b_i])=\Pi_i (b_i-a_i)\) pour \(b_i>a_i\). \(\mu\) s’appelle mesure de Lebesgue sur \(\mathbb{R}^n\).
On appelle encore mesure de Lebesgue l’extension de cette mesure sur \(\mathbb{R}^n\) muni des lebesguiens. La mesure de Lebesgue vérifie en outre les propriétés suivantes:
\(\bullet\)Sur \(\mathbb{R}\), à une constante de proportionnalité près, c’est la seule mesure sur les boréliens invariante par translations et finie sur les intervalles bornés.
\(\bullet\)Tout ensemble au plus dénombrable est de mesure nulle.
\(\bullet\)Étant donné \(E\) une partie Lebesgue-mesurable (un lebesguien), la mesure de \(E\) est égale à l’\(\inf\) des mesures des parties ouvertes contenant \(E\).