Distance de \(x\) à \(E\)

[ Definition ]
Soit \(H\) un espace de Hilbert, et \(E\) une partie convexe fermée non vide de \(H\). Alors étant donné \(x\) appartenant à \(H\) on appelle distance de \(x\) à \(E\) et on note \(d(x,E)\) le mombre \[d(x,E)=\inf_{z\in E}{\parallel}x-z {\parallel}.\] On appelle alors projeté de \(x\) sur \(E\) un élément \(y\) de \(E\) tel que \({\parallel}x-y {\parallel}\) soit minimal, c’est-à-dire \(y\in E\) est tel que \({\parallel}x-y{\parallel}=d(x,E)\). Un isomorphisme d’espaces de Hilbert est un isomorphisme entre les espaces vectoriels sous-jacents qui préserve la norme et le produit scalaire.
En savoir plus