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Semi-linéaire
[ Definition ]
Une application d’un \(\mathbb{C}\)-espace vectoriel \(E\) dans un \(\mathbb{C}\)-espace vectoriel \(F\) est dite semi-linéaire si
On appelle espace préhilbertien complexe un \(\mathbb{C}\)-espace vectoriel muni d’un produit scalaire hermitien. Un sous-espace vectoriel \(F\) d’un espace préhilbertien complexe \(E\) muni d’un produit scalaire hermitien, muni de la restriction du produit scalaire hermitien à \(F\), est appelé sous-espace préhilbertien de \(E\) (c’est un espace préhilbertien).
En savoir plus
\(\bullet\)\(\forall (x,y)\in E^2\ f(x+y)=f(x)+f(y)\)
\(\bullet\)\(\forall (x,{\lambda})\in E\times \mathbb{C}\ f({\lambda}.x)=\overline {\lambda}f(x)\)
Une application semi-linéaire est un semi-isomorphisme si et seulement si elle est semi-linéaire et bijective.
Une forme semi-linéaire est une application semi-linéaire d’un \(\mathbb{C}\)-espace vectoriel dans \(\mathbb{C}\).
Étant donnés \(E\) et \(F\) des \(\mathbb{C}\)-espaces vectoriels, une application \(\phi\) de \(E \times F\) est dite forme sesquilinéaire sur \(E\times F\) si
\(\bullet\)\(\forall x\) l’application \(y\mapsto \phi(x,y)\) est une forme linéaire sur \(F\)
\(\bullet\)\(\forall y\) l’application \(x\mapsto \phi(x,y)\) est une forme semi-linéaire sur \(E\)
Une forme sesquilinéaire sur \(E\times E\) est dite hermitienne lorsque en outre \(\forall (x,y) \in E^2\ \phi(x,y)=\overline {\phi(y,x)}\).
Une forme sesquilinéaire hermitienne \(\phi\) sur \(E^2\) est dite produit scalaire hermitien sur \(E\) si \(\forall x \in E\setminus\{0\}, \ \phi(x,x) \in \mathbb{R}^+_*\). On note généralement alors \(=\phi(x,y)\)
Étant donné un produit scalaire hermitien \(<.|.>\), on définit une norme hermitienne; il s’agit de l’application \(x \mapsto {\parallel}x {\parallel}= \sqrt{<x|x>}\). On verra plus loin qu’il s’agit d’une norme.