Produit scalaire euclidien sur \(E\)

[ Definition ]
Étant donné \(E\) un \(\mathbb{R}\)-espace vectoriel, on appelle produit scalaire euclidien sur \(E\) une application \(<.|.>\) de \(E^2\) dans \(\mathbb{R}\) telle que:

\(\bullet\)\(<.|.>\) est bilinéaire

\(\bullet\)\(<.|.>\) est symétrique : \(=<y|x>\) pour tout \(x\) et tout \(y\)

\(\bullet\)la forme quadratique associée à \(<.|.>\) est définie positive : \(\forall x\neq0\), \(\ >0\)

On appelle espace préhilbertien réel un \(\mathbb{R}\)-espace vectoriel muni d’un produit scalaire euclidien.

Un sous-espace vectoriel \(F\) d’un espace préhilbertien réel \(E\) muni d’un produit scalaire euclidien, muni de la restriction du produit scalaire euclidien à \(F\), est appelée sous-espace préhilbertien de \(E\) (c’est un espace préhilbertien).

Étant donné un produit scalaire euclidien \(<.|.>\), on définit une norme euclidienne; il s’agit de l’application \(x \mapsto {\parallel}x {\parallel}= \sqrt{<x|x>}\). On verra plus loin qu’il s’agit bien d’une norme (facile au vu des résultats de la partie [bilin]).
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