Lecture zen
Orthogonalité
[ Definition ]
Étant données \(q\) une forme quadratique et \(\phi\) sa forme polaire:
\(\bullet\)Une forme quadratique \(q\) sur un \(\mathbb{R}\)-espace vectoriel \(E\) est dite positive (resp. négative) lorsque pour tout \(x\) on a \(q(x,x)
\geq 0\) (resp. \(q(x,x) \leq 0\)).
En savoir plus
\(\bullet\)\(x\) et \(y\) appartenant à \(E\) sont orthogonaux si et seulement si \(\phi(x,y)=0\)
\(\bullet\)deux parties \(X\) et \(Y\) de \(E\) sont dites orthogonales si et seulement si tout \(x\) dans \(X\) et tout \(y\) dans \(Y\) sont orthogonaux.
\(\bullet\)On appelle orthogonal d’une partie \(X\) de \(E\) et on note \(X^\bot\) l’ensemble des éléments orthogonaux à tous les éléments de \(X\).
\(\bullet\)On appelle noyau de \(q\) l’orthogonal de \(E\) (à ne pas confondre avec le cône isotrope de \(q\)); on le note \(N(q)\).
\(\bullet\)On appelle cône isotrope de \(q\) et on note \(C(q)\) l’ensemble des \(x\) tels que \(q(x)=0\) (à ne pas confondre avec le noyau de \(q\)). Un élément du cône isotrope est appelé vecteur isotrope.
\(\bullet\)Une forme quadratique est dite dégénérée si son noyau n’est pas réduit à \(\{0\}\).
\(\bullet\)Une forme quadratique est dite définie si son cône isotrope est réduit à \(\{0\}\).
\(\bullet\)Un sous-espace vectoriel de \(E\) est dit isotrope si la restriction de \(q\) à ce sous-espace vectoriel est dégénérée.
\(\bullet\)Un sous-espace vectoriel de \(E\) est dit totalement isotrope si la restriction de \(q\) à ce sous-espace vectoriel est nulle.