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Matrice de \(\phi\) dans la base \({\cal B}\)
[ Definition ]
Étant donnée une forme bilinéaire \(\phi\) sur \(E\), on appelle matrice de \(\phi\) dans la base \({\cal B}\) la matrice \(M\) définie par \[M_{i,j}=\phi(e_i,e_j)\] On la note \(Mat_B(\phi)\).
La forme bilinéaire canoniquement associée à une matrice \(M\) de type \((n,n)\) est la forme bilinéaire associée à cette matrice dans \(\mathbb{K}^n\), muni de sa base canonique.
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Réciproquement, on appelle forme bilinéaire sur \(E\) associée à la matrice \(M\) et à la base \(B\) l’application \(\phi\) définie par \[\phi(x,y)=^tX.M.Y\] avec \(X\) le vecteur défini par \(X_i=e_i^*(x)\) et \(Y\) le vecteur défini par \(Y_i=e_i^*(y)\).