Produit symétrique

[ Definition ]
Soient \(f_1,...,f_n\) des formes linéaires sur le \(\mathbb{K}\)-espace vectoriel \(E\).

On appelle produit tensoriel de \((f_1,...,f_n)\) l’application qui à \((x_1,...,x_n)\) associe \(f_1(x_1)\times f_2(x_2)... \times f_n(x_n)\). On le note \(f_1 \otimes f_2 \otimes ... \otimes f_n\).

L’aplication symétrisée du produit tensoriel est appelée produit symétrique de \((f_1,...,f_n)\); on la note \(f_1.f_2.\dots.f_n\).

L’application antisymétrisée du produit tensoriel est appelée produit extérieur de \((f_1,...,f_n)\); on le note \(f_1 \land f_2 \land ... \land f_n\).

Une application \(n\)-linéaire exprimable comme produit tensoriel est dite décomposable dans \(L_n(E)\).

Une application \(n\)-linéaire exprimable comme produit symétrique est dite décomposable dans \(S_n(E)\).

Une application \(n\)-linéaire exprimable comme produit extérieur est dite décomposable dans \(A_n(E)\).
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