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Application multilinéaire
[ Definition ]
Soient \(E_1\), ..., \(E_n\) et \(F\) des \(\mathbb{K}\)-espaces vectoriels, alors \(f:\Pi_{i \in [[1,n]]} E_i \to F\) est \(n\)-linéaire si pour tout \((x_i)\) dans \(\Pi E_i\) et tout \(j\) l’application \[x \to f(x_1,...,x_{j-1},x,x_{j+1},...,x_n)\] est linéaire. Leur ensemble est noté \(\mathcal L(E_1,...,E_n;F)\).
On note \(S_n(E)\) l’ensemble des formes \(n\)-linéaires symétriques sur \(E\) et \(A_n(E)\) l’ensemble des formes \(n\)-linéaires alternées sur \(E\).
En savoir plus
Si \(E_1=E_2=...=E_n=E\) on dit que \(f\) est une application \(n\)-linéaire sur \(E\).
Si \(F\) est le corps \(\mathbb{K}\), alors \(f\) est dite forme \(n\)-linéaire.
On note \(L_n(E,F)\) l’ensemble des applications \(n\)-linéaires de \(E\) dans \(F\).
On note \(L_n(E)\) l’ensemble des formes \(n\)-linéaires sur \(E\), c’est-à-dire \(L_n(E,\mathbb{K})\).
Étant donné \(f\in L_n(E,F)\) et \(\sigma\in \sigma_n\) on note \(f_\sigma\) l’application \(n\)-linéaire \((x_1,...,x_n) \mapsto f(x_{\sigma(1)},x_{\sigma(2)},...,x_{\sigma(n)})\).
Une application \(n\)-linéaire est dite symétrique si pour tout \(\sigma\) \(f_\sigma=f\).
Une application \(n\)-linéaire est dite antisymétrique si pour tout \(\sigma\) \(f_\sigma=\epsilon(\sigma).f\), avec \(\epsilon()\) la signature (cf section [symet]).
Une application \(n\)-linéaire est dite alternée si \(i\neq j\) et \(x_i=x_j\) implique \(f(x_1,...,x_n)=0\).
On note \(S_n(E,F)\) l’ensemble des applications \(n\)-linéaires symétriques de \(E\) dans \(F\) et \(A_n(E,F)\) l’ensemble des applications \(n\)-linéaires alternées de \(E\) dans \(F\).