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Quelques théorèmes (peu difficiles) sans preuve
[ Théorème ]
\(\bullet\)Soient \(E_1\), ..., \(E_n\) et \(F\) des espaces vectoriels normés, et soit \(f\) une application \(n\)-linéaire de \(E_1,...,E_n\) dans \(F\). Alors :
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– \(f\) est continue si et seulement si \(f\) est continue en \(0\)
– \(f\) est continue si et seulement si \(f\) est bornée sur le produit des boules unités des \(E_i\)
\(\bullet\)Si \(F\) est un espace de Banach, alors \({\cal L}(E_1,...,E_n;F)\) est un espace de Banach.
\(\bullet\)Étant donnée \(f\) application \(n\)-linéaire continue de \(E_1 \times ... \times E_n\) dans \(F\), alors \(f\) est \(\mathcal C^\infty\) sur \(E_1\times...\times E_n\) et, notamment, la différentielle de \(f\) en \((x_1,x_2,...,x_n)\) est \((h_1,...,h_n) \mapsto f(h_1,x_2,...,x_n)+f(x_1,h_2,x_3,...,x_n)+...+f(x_1,x_2,...,x_{n-1},h_n)\).
\(\bullet\)\({\cal L}(E_1,E_2;F) \simeq {\cal L}(E_1;{\cal L}(E_2;F))\).