Permutation

[ Definition ]
On appelle permutation d’un ensemble une bijection de cet ensemble sur lui-même.

On appelle support d’une permutation \(\sigma\) sur un ensemble \(E\) l’ensemble des éléments \(x\in E\) qui vérifient \(\sigma(x)\neq x\).

On appelle cycle d’un ensemble une bijection \(f\) telle qu’il existe \(a_1,...,a_n\) (en nombre fini et distincts) tels que \(f(a_i)=a_{i+1}\) pour \(i<n\), \(f(a_n)=a_1\) et \(f(b)=b\) si \(b\) n’est aucun des \(a_i\). On note alors \(f=(a_1,a_2,\dots,a_n)\). \(n\) est l’ordre du cycle; il ne s’agit pas d’une définition, car cet ordre colle à la notion d’ordre sur les éléments d’un groupe. \(n\) est aussi appelé longueur du cycle.

On appelle \(n\)-cycle un cycle d’ordre \(n\).

On appelle transposition une permutation qui << échange>> deux éléments. On note \((a,b)\) la transposition qui échange \(a\) et \(b\). Une transposition est un cycle de longueur \(2\).

On appelle groupe symétrique d’un ensemble \(E\) l’ensemble des permutations de cet ensemble.

On note \(\sigma_n\) et on appelle \(n\)-ième groupe symétrique standard le groupe symétrique de \(\{1,2,...,n\}\). Tous les groupes symétriques sur des ensembles de cardinal \(n\) sont isomorphes à \(\sigma_n\).

Pour un \(n\) donné on appelle signature l’unique homomorphisme \(\epsilon\) de \(\sigma_n\) dans \(\{1,-1\}\) tel que \(\epsilon(\tau)=-1\) lorsque \(\tau\) est une transposition.

On appelle \(n\)-ième groupe alterné le noyau de \(\epsilon\) (dans \(\sigma_n\)). On le note \(U_n\).

On appelle matrice associée à la permutation \(\sigma\) de \(\sigma_n\) la matrice \(M\) telle que \(M_{i,j}=\delta_{i,\sigma(j)}\).
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