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Produit direct de deux groupes
[ Definition ]
On appelle produit direct de deux groupes \(N\) et \(H\) et on note \(N \times H\) le produit cartésien des groupes \(N\) et \(H\) muni du produit terme à terme \[(n,h).(n',h')=(nn',hh')\] La fonction \(p_2\) qui à \((n,h)\) associe \(h\) est appelée projection de \(N \times H\) sur \(H\).
On définit aussi le produit restreint des \(G_i\) comme étant le sous-groupe du produit des \(G_i\) des éléments \((g_i)_{i\in I}\) ne comportant qu’un nombre fini de \(g_i\) différents de l’élément neutre. S’il s’agit d’un produit d’un nombre fini de groupes il est clair que le produit restreint est égal au produit.
En savoir plus
La fonction \(p_1\) qui à \((n,h)\) associe \(n\) est appelée projection de \(N \times H\) sur \(N\).
On définit alors la généralisation à un produit d’un nombre quelconque de groupes \(\Pi_{i\in I} G_i\). La loi \[((g_i)_{i\in I},(h_i)_{i\in I})= (g_ih_i)_{i\in I}\] munit le produit d’une structure de groupe; on appelle ce groupe le groupe produit.