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G-orbite
[ Definition ]
On note \(G_x\) et on appelle stabilisateur ou fixateur de \(x\in X\) l’ensemble des \(g\in G\) tels que \(g.x=x\). C’est un sous-groupe de \(G\), qui n’est pas nécessairement distingué.
De manière équivalente, \(G\) opère fidèlement si l’action \(\alpha\) est injective (i.e. \(Ker\ \alpha=\{1\}\)), où l’on voit \(\alpha\) comme un morphisme de \(G\) dans l’ensemble des permutations (i.e. des bijections) de \(X\).
En savoir plus
On appelle G-orbite de \(x\) appartenant à \(X\) (ou plus simplement orbite s’il n’y a pas de risque de confusion) et on note \({\omega}(x)\) ou \(G.x\) la classe d’équivalence de \(x\) pour la relation \({\cal R}\) définie par \(a {\cal R}b \iff \exists g \in G / g.a=b\) (il est facile de vérifier qu’il s’agit bien d’une relation d’équivalence).
Un \(G\)-ensemble est dit homogène s’il ne contient qu’une seule orbite.
On dit que \(x \in X\) est un point fixe, si l’orbite de \(x\) est réduite à \(\{x\}\).
On dit que \(G\) opère transitivement si \(\forall x \forall y \exists g\: y=g.x\).
On dit que \(G\) opère \(k\) fois transitivement si \(\forall (x_i)_{i\in \{1,...,k\}} \forall (y_i)_{i\in \{1,...,k\}} (i\neq j \rightarrow x_i\neq x_j \land y_i \neq y_j ) \rightarrow \exists g \forall i \in \{1,...,k\} / y_i=g.x_i\).
On dit que \(G\) opère fidèlement si \((\forall x\ g.x=x) \rightarrow g=1\).