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Action à gauche
[ Definition ]
Avec \(G\) un groupe et \(X\) un ensemble, on appelle action à gauche de \(G\) sur \(X\) une application \(\alpha\) de \(G \times X\) dans \(X\) telle que:
On définit de manière symétrique une action à droite. Une action sans plus de précision désigne une action à gauche. On dit que \(X\) est un \(G\)-ensemble.
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\(\bullet\)\(\forall x \,\ \alpha(1,x)=x\)
\(\bullet\)\(\forall g, h, x \,\ \alpha(g,\alpha(h,x))=\alpha(g.h,x)\)
On dit aussi que \(G\) opère à gauche sur \(X\) où que \(G\) est une opération à gauche sur \(X\). Usuellement on note plus simplement \(g.x\) au lieu de \(\alpha(g,x)\). Les deux conditions deviennent alors:
\(\bullet\)\(1.x=x\)
\(\bullet\)\(g.(h.x)=(g.h).x\)