Suite exacte

[ Definition ]
On appelle suite exacte un schéma comme suit: \[{\atop 1 \rightarrow A} {i\atop{\rightarrow}}{\atop B} {s\atop{\rightarrow}} {\atop{C \rightarrow 1}}\]\(A\), \(B\) et \(C\) sont des groupes, et

\(\bullet\)\(i\) est un homomorphisme injectif de \(A\) dans \(B\)

\(\bullet\)\(s\) est un homomorphisme surjectif de \(B\) dans \(C\)

\(\bullet\)\(Ker\ s = Im\ i\)

(on note \(0\) au lieu de \(1\) lorsque les groupes sont notés additivement)

Lorsque \(i\) et \(s\) ne sont pas précisés, cela signifie simplement que l’on peut trouver de tels \(i\) et \(s\).

On dit alors que \(B\) est une extension de \(A\) par \(C\). Si en outre il existe \(\overline C\) sous-groupe de \(B\) tel que la restriction de \(s\) à \(\overline C\) est un isomorphisme, alors on dit que \(\overline C\) est un relèvement. Cela est équivalent à dire qu’il existe un homomorphisme \(t\) de \(C\) dans \(B\) tel que \(s \circ t = Id_C\). S’il y a un relèvement, l’extension est dite scindée, et \(t\) est appelée section de \(s\).
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