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Distingué
[ Definition ]
Deux sous-groupes \(A\) et \(B\) de \(G\) sont dits conjugués s’il existe \(g\in G\) tel que \(A=g.B.g^{-1}\).
L’ensemble des \(x\) tels que \(x\) commute avec tout élément est appelé le centre d’un groupe. Le centre est un sous-groupe. On note \(Z(G)\) le centre de \(G\).
En savoir plus
Étant donné \(H\) sous-groupe de \(G\), le normalisateur de \(H\) est \(N_G(H)=\{g \in G ; gHg^{-1}=H\}\).
Un sous-groupe \(N\) est dit distingué (ou normal) si pour tout \(g\in G\) \(gNg^{-1}=N\); on note \(N \vartriangleleft\shortmid G\). Cela signifie qu’il est stable par tout automorphisme intérieur (définition d’un automorphisme en partie [defautoici]).
Un sous-groupe \(N\) est dit caractéristique si il est stable par tout automorphisme.
Un groupe est dit simple si ses seuls sous-groupes distingués sont \(\{1\}\) et \(G\).