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Enfin une définition nécessitant la notion de continuité (définie ultérieurement): on appelle isomorphisme de l’espace vectoriel normé \(E\) dans l’espace vectoriel normé \(F\) une application linéaire continue bijective de réciproque continue (c’est-à-dire qu’il s’agit d’un morphisme algébrique (i.e. au sens des espaces vectoriels ) et d’un homéomorphisme).
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Norme
[ Definition ]
Soit \(E\) un espace vectoriel sur le corps \(\mathbb{K}\), avec \(\mathbb{K}=\mathbb{R}\) ou \(\mathbb{K}=\mathbb{C}\). Une norme sur \(E\) est une application \(\parallel . \parallel\) de \(E\) dans \([0,+\infty[\) vérifiant:
\(\bullet\)\(\parallel x \parallel = 0\) si et seulement si \(x=0\)
\(\bullet\)\(\forall x,y \in E\), on a \(\parallel x + y \parallel \leq \parallel x \parallel + \parallel y \parallel\)
\(\bullet\)\(\forall \lambda \in \mathbb{K}\) \(\forall x \in E\) on a \(\parallel \lambda . x \parallel = | \lambda | \parallel x \parallel\)
S’il ne manque que la première propriété, on parle de semi-norme.
On appelle vecteur unitaire un vecteur \(x\) tel que \(\parallel x \parallel=1\).
Un espace muni d’une norme est appelé espace normé ou espace vectoriel normé.
Dans un espace normé une série \((\sum x_n)\) est dite normalement convergente si \(\sum_{i=1}^n {\parallel}x_i {\parallel}\) converge.