Différentes extensions de corps

[ Definition ]

Si \(L\) est une extension du corps \(K\), alors un élément \(a\) de \(L\) est dit algébrique sur \(K\) s’il existe un polynôme \(P\) à coefficients dans \(K\) tel que \(P(a)=0\). Un nombre réel est souvent dit simplement algébrique s’il est algébrique sur \(\mathbb{Q}\). L’ensemble des éléments de \(L\) algébriques sur \(K\) est appelée extension algébrique de \(K\) dans \(L\).

Etant donné \(K\) un corps et \(P\in K[X]\), on appelle corps de rupture de \(P\) un sur-corps \(L\) de \(K\) dans lequel \(P\) admet une racine \(a\) et tel que \(L=K(a)\).

Etant donné \(K\) un corps et \(P\in K[X]\), on appelle corps de décomposition de \(P\) un sur-corps \(L\) de \(K\) dans lequel \(P\) est scindé et \(L=K(Z)\), avec \(Z\) l’ensemble des zéros de \(P\) dans \(L\).

Etant donné \(K\) un corps, on appelle clôture algébrique de \(K\) une extension de \(K\) algébriquement close et dont tous les éléments sont algébriques sur \(K\).
En savoir plus