Anneaux intègres

[ Definition ]
  1. Un élément \(a\) est dit diviseur à gauche de \(0\) s’il existe \(b \neq 0\) tel que \(b.a=0\).

    Un élément \(a\) est dit diviseur à droite de \(0\) s’il existe \(b \neq 0\) tel que \(a.b=0\).

    Un élément est dit diviseur de \(0\) s’il est à la fois diviseur à gauche de \(0\) et diviseur à droite de \(0\).

    Un anneau est dit sans diviseur de \(0\) s’il n’admet pas de diviseur à gauche de \(0\) ou de diviseur à droite de \(0\) autre que \(0\) lui-même.

  2. Un anneau est dit intègre si:

    \(\bullet\)il est de cardinal \(>1\)

    \(\bullet\)il est commutatif

    \(\bullet\)il est sans diviseur de \(0\)

  3. Un élément \(a\) est dit nilpotent s’il existe \(n\in \mathbb{N}\) tel que \(a^n=0\). On appelle alors indice de nilpotence de \(a\) le plus petit \(n\) convenable non nul.

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