Propriétés des application \(p\)-linéaires avec \(\dim E = n\)

[ Proposition ]

\(E\) est ici supposé isomorphe à \(\mathbb{R}^n\).

Toute application \(p\)-linéaire de \(E\) dans \(F\) s’écrit de manière unique \[x\mapsto \sum_{1\leq i_1<i_2<\dots<i_p\leq n} \underbrace{c_{i_1,\dots,i_p}}_{\in F} e_{i_1}^*\land e_{i_2}^* \land \dots e_{i_p}^*\] avec la famille des \(e_i^*\) la base duale de la base des \(e_i\) (base canonique de \(\mathbb{R}^n\)), c’est-à-dire que les \(e_i^*\) sont les formes qui donnent les coordonnées d’un point.

En particulier, si \(p=n\), l’application s’écrit \(x\mapsto (e_1^* \land e_2^* \land \dots \land e_n^*)(x)c\), avec \(c\) un élément de \(F\), et si \(p>n\), l’application est nécessairement nulle.
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