Position par rapport au plan tangent

[ Definition ]

On peut toujours, étant donnée une surface régulière \(S\) de classe au moins \(C^1\) avec \(0\in S\) et tangente au plan \(z=0\) choisir une représentation paramétrique locale \(f\) en \(0\) telle que pour un certain \((x,y)\mapsto g(x,y)\) on ait \(f(x,y)=(x,y,g(x,y))\) (ceci s’étend évidemment en tout point \(\neq 0\) de \(S\) et pour tout plan tangent - on préfère translater et tourner la surface pour se ramener à ce cas plus « visuel »). Avec \(Q\) la forme quadratique qui a mêmes dérivées premières et secondes que \(g\), on a alors nécessairement \(Q(x,y)=rx^2+ty^2+2sxy\) pour certains \(r\), \(t\), \(s\) (notation de Monge). On dit que \(0\) est:

  • Un point elliptique si \(rt>s^2\), \(Q\) est alors soit définie positive soit définie négative. Localement, la surface est entièrement d’un même côté du plan \(z=0\), et seul le point \(0\) est intersection du plan et de la surface (attention: localement).

  • Un point hyperbolique si \(rt<s^2\). La surface passe, localement, des deux côtés du plan tangent.

  • Un point parabolique si \(rt=s^2\) et \((r,s,t)\neq (0,0,0)\).

  • Un point plat si \(r=s=t=0\).

La quantité \(rt-s^2\) est appelée courbure de Gauss ou courbure totale de la surface \(S\) en \(0\).

On appelle première forme fondamentale d’une surface \(S\) au moins \(C^1\) en un point \(x\in S\) l’application qui à deux vecteurs appartenant à la direction du plan tangent à \(S\) en \(x\) associe leur produit scalaire. La première forme fondamentale est une forme bilinéaire, dépendant de \(x\); on la notera par la suite, dans une base de la direction du plan tangent, \(g((x_1,x_2),(y_1,y_2)) = \sum_{(i,j)\in \{1,2\}^2} g_{i,j} x_iy_j\).
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