Surface régulière de \(\mathbb{R}^3\)

[ Definition ]
On appelle surface régulière de \(\mathbb{R}^3\) de classe \(C^k\) (ou plus simplement surface; ici toutes les surfaces seront régulières) une variété de dimension \(2\) et de clase \(C^k\) dans \(\mathbb{R}^3\). On dit qu’une surface \(S\) est réglée si par tout point de \(S\) passe au moins une droite incluse dans \(S\). On dit qu’une surface \(S\) est de révolution si elle est invariante par rotation autour d’une certaine droite \(D\); on dit alors que \(S\cap P\) est un méridien pour tout plan \(P\) contenant \(D\); un cercle situé sur un plan \(P\) orthogonal à \(D\) et contenu dans \(S\) est appelé un parallèle. On appelle plan tangent à \(S\) surface régulière de classe \(C^k\) avec \(k\geq 1\) en \(x\in S\) le plan affine passant par \(X\) et de plan vectoriel directeur engendré par les dérivées partielles \(\frac{\delta f}{\delta x}\) et \(\frac{\delta f}{\delta y}\) par rapport à \(x\) et \(y\) d’une représentation paramétrique \((x,y)\mapsto f(x,y)\). Une surface \(S\) de classe au moins \(C^1\) est dite orientable s’il existe une application \(n\) de \(S\) dans \(\mathbb{R}^3\) telle que \(n(s)\) soit de norme \(1\) et orthogonal à la direction du plan tangent de \(S\) en \(s\). \(n\) est alors une orientation de \(S\), et \((S,n)\) est une surface orientée.
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