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De classe \(C^n\)
[ Definition ]
Étant donnée une application \(f\) d’un ouvert \(U\) d’un espace de Banach \(E\) dans un espace de Banach \(F\), on dit que \(f\) est de classe \(C^n\) (on dit aussi \(n\) fois continûment différentiable) si \(f\) est différentiable et si sa différentielle est de classe \(C^{n-1}\). L’application est dite \(C^{\infty}\) si elle est \(C^n\) pour tout \(n\); on dit alors qu’elle est indéfiniment différentiable.
Étant donné une application \(f\) d’un ouvert \(U\) d’un espace de Banach \(E\) dans un espace de Banach \(F\), on note \(\frac{\delta^2f}{\delta x_i\delta x_j}\) l’application \(\frac{\delta\frac{\delta f}{\delta x_j}}{\delta x_i}\).
En savoir plus
On note alors \(f^{(1)}(a)\) l’application \(Df(a)(x)\), et par récurrence \(f^{(n)}(a)\) l’application \(Df^{(n-1)}(a)\).
Étant donné une application \(f\) d’un ouvert \(U\) d’un espace de Banach \(E\) dans un espace de Banach \(F\), on dit que \(f\) est \(n\) fois différentiable en \(x\) appartenant à \(U\) si et seulement si \(f\) est de classe \(C^{n-1}\) sur un voisinage de \(x\) et si la \(n\)-ième différentielle de \(f\) sur ce voisinage est différentiable en \(a\).