Existence de la dérivée seconde

[ Proposition ]
Soi \(f\) une application de \(U\) ouvert de \(E=E_1 \times E_2 ... \times E_n\) (des espaces de Banach ) dans \(F\) (un espace de Banach ). Alors si les \(\frac{\delta f}{\delta x_i}\) existent et sont continues sur un voisinage de \(x\), et si les \(\frac{\delta^2 f}{\delta x_i \delta x_j}\) existent sur un voisinage de \(x\) et sont continues en \(x\), alors \(f\) est deux fois différentiable en \(x\).
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