Théorème d’inversion locale

[ Théorème ]
Soit \(h\) de \(U\) dans \(F\) une application \(C^1\), avec \(U\) ouvert de \(E\), et \(E\) et \(F\) des espaces de Banach. Si la différentielle \(Dh(x_0)\) est bijective de \(E\) dans \(F\) pour un certain \(x_0\) de \(U\), alors il existe \(U_0\) voisinage de \(x_0\) dans \(E\) et un voisinage ouvert \(V_0\) de \(f(x_0)\) dans \(F\) tels que \(h\) induit un difféomorphisme \(C^1\) de \(U_0\) dans \(V_0\). On a alors \[D(h^{-1})(h(x))=(Dh(x))^{-1}\mbox{ pour tout $x$ dans $U_0$.}\]
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